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jueves, 8 de mayo de 2008

Papiroflexia y Matemáticas

No me resultaba difícil últimamente encontrarme con alguna composición, a partir de módulos, en la que se hallaran representados los tres planos del espacio. No obstante, la imagen ideal que yo podía tener de cómo representarlos no se ajustaba a lo que me iba encontrando.

Es por ello que me planteé el reto de realizar una composición modular con los tres planos cruzándose en el espacio y que estuvieran inscritos en un hexaedro. Me impuse también otros criterios como el de jugar con un color para cada plano, que los módulos fueran los menos posibles, que encastraran firmemente y que, por ende, resultaran relativamente fáciles de confeccionar.

Lo primero que me planteé fue la manera de reducir al mínimo los módulos. Sin pensármelo mucho, me puse –literalmente– manos a la obra: cogí seis papeles cuadrados, los doblé por la mitad formando rectángulos y me hice la composición sobre la marcha. Bien, aquello parecía que marchaba: los seis rectángulos podían entrecruzarse formando la composición que yo buscaba y ahora sólo me faltaba buscar la manera de hacerlos encastrar unos con los otros. ¡Necesitaba unos bolsillos en aquellos rectángulos y unas puntas que pudieran meterse en dichos bolsillos, pero cómo!

La verdad es que los que practicamos la papiroflexia de manera asidua tenemos una ventaja: muchas veces las soluciones nos vienen dadas por otras figuras, que en la inmensa mayoría de las veces no tienen nada que ver con lo que pretendemos. Así fue como, casi como un acto reflejo, tras plantearme el cómo sacar bolsillos y puntas, me vino de primeras a la cabeza una composición infantil tradicional: ¡el catamarán o barco doble! Aquella figura tenía todo lo que yo estaba buscando, y además en los lugares idóneos.

Al llevarlo a la práctica tuve un pequeño contratiempo: si hacía los plegados de la manera más perfecta que me fuera posible, tenía auténticos problemas de encaje, fundamentalemnte con los últimos módulos. Por un lado, el grosor del papel que se me acumulaba en el centro de los tres planos me impedía introducir las pestañas de estos últimos módulos en sus bolsillos correspondientes; y por otro, la ortogonalidad de los planos me dificultaba enormente encastrarlos.

Por tanto, y como consejo: Prestad atención al grosor del papel y, en función de ello, plegad en el paso número 2 con la suficiente “imperfección” que permita la holgura necesaria entre los bolsillos y el módulo (con sus pestañas) que se interpondrá entre ellos.

Suerte y que disfrutéis.

imagen de los pliegues


Página:
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/papiroflexia/index.asp

viernes, 22 de febrero de 2008

CAMPANA, DIABOLO, CILINDRO

FORMAS GEOMÉTRICAS PARA LAS TALLAS.

Las tallas actuales de ropa tienen los días contados. El patrón clásico de medición dejará paso en unos dos años a un tallaje más ajustado al perfil físico de las mujeres. Esta revolución textil que el Gobierno pretende llevar a Bruselas con rango de normativa busca promover una imagen de belleza más saludable. Para ello, el Ministerio de Sanidad presentó ayer un estudio pionero del que se extraen tres morfotipos o categorías generales entre la población femenina española, y que ayudarán a conformar las nuevas medidas para la ropa.


Estas categorías se forman como resultado de medir los perímetros de busto, cintura y cadera en relación con la estatura. Para ello se han cogido muestras de más de 10.000 mujeres de entre 12 y 70 años, de 59 ciudades españolas. Se tratan de morfotipos que no se habían catalogado hasta ahora, ya que la anatomía siempre ha establecido categorías científicas en función del sexo masculino, como así se regula desde 1972. Este desfase explica como hoy en día un 40% de las mujeres tiene problemas para encontrar su talla, según revela el estudio elaborado por Sanidad.

Con los datos antropométricos en la mano, los técnicos han establecido que el cuerpo femenino responde a tres categorías según su forma anatómica: diábolo, campana y cilindro, que representan «con precisión y de forma proporcional» a las mujeres, según el ministro Bernat Soria. De esta manera, el tamaño de la ropa quedaría ahora definido por códigos con tres dígitos que contemplarían los parámetros citados (pecho, cintura, cadera) para cada altura.

En función de estas medidas, un 39% de las mujeres se encuadran en el diábolo, el mayoritario, seguido del cilindro (36%) y la campana (25%). Por edades, en los momentos de pubertad y juventud (12-30 años) destaca la forma cilindro, en la madurez (de 31 a 60 años) prima el diábolo y el modelo más extendido a partir de los 60 es la campana. No obstante, el porcentaje de morfotipos en cada franja de edad no es muy acentuado.

viernes, 15 de febrero de 2008

El Triángulo de Tartaglia

En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El Triángulo de Tartaglia no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.











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70
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126
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252
210
120
45
10
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...

Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y las demás filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.

El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos construir todas las filas que queramos. En el ejemplo de arriba hemos desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a la tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.






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fila 0




1
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fila 1



1
2
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fila 2


1
3
3
1


fila 3

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6
4
1

fila 4
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5
10
10
5
1
fila 5...

El Triángulo de Tartaglia está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.

Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

etc...

Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b, son los mismos números que los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por ejemplo:

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

Es fácil también darse cuenta de que a aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va disminuyendo la potencia (en el último ejemplo, a4, a3, a2, etc.), mientras que b no aparece en el primer término, sí en el segundo, y luego va aumentando su potencia hasta acabar solo en el último término.

Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si queremos averiguar un número de la fila 20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores. Cada número en realidad es un número combinatorio; para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego aparecen números con signos de admiración, los factoriales. La fórmula en concreto es:

Veamos un ejemplo de cílculo para entender la fórmula:

Hemos calculado el número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el Triángulo de Tartaglia de arriba del todo veremos que en la fila 8, en el quinto lugar si no contamos el primer 1, tenemos 56.

Cada número del Triángulo es el resultado de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y al lugar que ocupa dentro de ella. El Triángulo se puede expresar también así:

...

Si por ejemplo queremos calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que el factorial de cero es por definición igual a uno, 0! = 1.

De forma análoga se pueden ir calculando todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que van coincidiendo con los términos del Triángulo.

Con todo lo que hemos explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el cálculo del desarrollo de un binomio, llamada el Binomio de Newton:

Para terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el nombre, Niccolás Fontana, apodado Tartaglia porque era tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia, Italia y enseñó en varias universidades hasta establecerse en Florencia en 1542. Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados sobre artillería.

El Triángulo de Tartaglia tiene algunos aspectos interesantes que trataremos en un próximo artículo.