CAMPANA, DIABOLO, CILINDRO

FORMAS GEOMÉTRICAS PARA LAS TALLAS.

Las tallas actuales de ropa tienen los días contados. El patrón clásico de medición dejará paso en unos dos años a un tallaje más ajustado al perfil físico de las mujeres. Esta revolución textil que el Gobierno pretende llevar a Bruselas con rango de normativa busca promover una imagen de belleza más saludable. Para ello, el Ministerio de Sanidad presentó ayer un estudio pionero del que se extraen tres morfotipos o categorías generales entre la población femenina española, y que ayudarán a conformar las nuevas medidas para la ropa.

Estas categorías se forman como resultado de medir los perímetros de busto, cintura y cadera en relación con la estatura. Para ello se han cogido muestras de más de 10.000 mujeres de entre 12 y 70 años, de 59 ciudades españolas. Se tratan de morfotipos que no se habían catalogado hasta ahora, ya que la anatomía siempre ha establecido categorías científicas en función del sexo masculino, como así se regula desde 1972. Este desfase explica como hoy en día un 40% de las mujeres tiene problemas para encontrar su talla, según revela el estudio elaborado por Sanidad.

Con los datos antropométricos en la mano, los técnicos han establecido que el cuerpo femenino responde a tres categorías según su forma anatómica: diábolo, campana y cilindro, que representan «con precisión y de forma proporcional» a las mujeres, según el ministro Bernat Soria. De esta manera, el tamaño de la ropa quedaría ahora definido por códigos con tres dígitos que contemplarían los parámetros citados (pecho, cintura, cadera) para cada altura.

En función de estas medidas, un 39% de las mujeres se encuadran en el diábolo, el mayoritario, seguido del cilindro (36%) y la campana (25%). Por edades, en los momentos de pubertad y juventud (12-30 años) destaca la forma cilindro, en la madurez (de 31 a 60 años) prima el diábolo y el modelo más extendido a partir de los 60 es la campana. No obstante, el porcentaje de morfotipos en cada franja de edad no es muy acentuado.

El Triángulo de Tartaglia

En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El Triángulo de Tartaglia no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

...

Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y las demás filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.

El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos construir todas las filas que queramos. En el ejemplo de arriba hemos desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a la tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.

					1							fila 0
				1		1						fila 1
			1		2		1					fila 2
		1		3		3		1				fila 3
	1		4		6		4		1			fila 4
1		5		10		10		5		1		fila 5...

El Triángulo de Tartaglia está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.

Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

etc...

Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b, son los mismos números que los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por ejemplo:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴

Es fácil también darse cuenta de que a aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va disminuyendo la potencia (en el último ejemplo, a⁴, a³, a², etc.), mientras que b no aparece en el primer término, sí en el segundo, y luego va aumentando su potencia hasta acabar solo en el último término.

Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si queremos averiguar un número de la fila 20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores. Cada número en realidad es un número combinatorio; para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego aparecen números con signos de admiración, los factoriales. La fórmula en concreto es:

Veamos un ejemplo de cílculo para entender la fórmula:

Hemos calculado el número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el Triángulo de Tartaglia de arriba del todo veremos que en la fila 8, en el quinto lugar si no contamos el primer 1, tenemos 56.

Cada número del Triángulo es el resultado de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y al lugar que ocupa dentro de ella. El Triángulo se puede expresar también así:

...

Si por ejemplo queremos calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que el factorial de cero es por definición igual a uno, 0! = 1.

De forma análoga se pueden ir calculando todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que van coincidiendo con los términos del Triángulo.

Con todo lo que hemos explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el cálculo del desarrollo de un binomio, llamada el Binomio de Newton:

Para terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el nombre, Niccolás Fontana, apodado Tartaglia porque era tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia, Italia y enseñó en varias universidades hasta establecerse en Florencia en 1542. Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados sobre artillería.

El Triángulo de Tartaglia tiene algunos aspectos interesantes que trataremos en un próximo artículo.

¿por que se equivoca tanto el hombre del tiempo?

Hay cierto anuncio por la televisión (de compresas, para mas señas), en el que una chica pregunta con cara sorprendida ¿por que se equivoca tanto el hombre del tiempo?, como si los pobre meteorólogos no pusieran interés en su trabajo, etc.

El problema es que tratamos todos los días con el tiempo. La gente lee en los periódicos que esta calculados todos los eclipses posibles en varios miles de años, que están calculadas todas las trayectorias de numerosos cuerpos celestes con una precisión muy alta, etc. Luego, ¿como es posible que no puedan calcular si va a llover mañana o no?.

Las ecuaciones que rigen el tiempo en cualquier parte del mundo están perfectamente calculadas: son ecuaciones con variables tales como temperatura, presión atmosférica, humedad relativa del aire, velocidad del viento, etc. Todas estas variables se funden en un conjunto de ecuaciones mas o menos complejas y que con potentes ordenadores es factible resolver. Pero sigue habiendo un margen alto de errores en predicciones meteorológicas que vayan mas allá de unos pocos días. ¿Cual es la razón?.

La razón es que las ecuaciones que rigen el tiempo forman un sistema caótico. Un sistema de ecuaciones es caótico cuando una pequeña variación en las condiciones iniciales, produce un resultado totalmente diferente en la solución del problema. Para calcular el tiempo que hará mañana, necesitamos, evidentemente, saber como está el tiempo el día de hoy. La temperatura en este instante será un valor inicial que habrá que introducir en las ecuaciones para saber el tiempo que hará mañana.

Vamos a ver esto muy bien con un ejemplo muy sencillo:

Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones lineales en dos variables:

5x+7y=0.7
7x+10y=1

Si resolvemos este sistema de ecuaciones lineales, obtenemos las soluciones

x=0, y=0.1

Vamos a perturbar un poco el sistema, es decir, vamos a poner un sistema de ecuaciones que varíe muy poco respecto al anterior. El sistema es:

5x+7y=0.69
7x+10y=1.01

Hemos variado en 0.01 la suma de las dos ecuaciones con respecto a las ecuaciones originales. Es de esperar que una variación tan pequeña en las ecuaciones hará que la diferencia entre las soluciones sea también pequeña. Sin embargo, si resolvemos este último sistema de ecuaciones veremos que las soluciones son:

x = -0.17; y = 0.22

que se diferencian en bastante mas que la perturbación que hemos causado. Esto sucede así porque el sistema no es estable o está mal condicionado. Mirando la siguiente gráfica se adivina fácilmente por qué sucede esto:

Se han exagerado las proporciones para apreciar mejor los detalles. Las rectas mas finas corresponden al primer sistema de ecuaciones, y las mas gruesas al segundo. Señalados con un punto negro estan las soluciones de ambos sistemas.

La diferencia tan grande entre las soluciones ocurre porque las pendientes de las gráficas son muy parecidas, por tanto, cualquier mínima variación en las dos rectas hace que varíe mucho el punto de intersección.

Cuando resolvemos las ecuaciones que rigen el tiempo, ocurre algo parecido, una mínima variación en los datos iniciales hace que varíe mucho el resultado. Se podría pensar que esto se solucionaría siendo mas precisos en la toma de los datos iniciales: por ejemplo, midiendo la temperatura con una gran precisión: el problema es que nunca medimos la temperatura con una precisión absoluta: usamos aparatos tales como termómetros, etc., y siempre tenemos un margen de error. Este margen de error puede ser suficiente para obtener un resultado diametralmente opuesto.

Esta peculiaridad de los sistemas caóticos se conoce como "el efecto mariposa", ya que se afirma que el aleteo de una mariposa en Hong-Kong (es decir, una perturbación muy pequeña) puede hacer que esta tarde llueva en Londres.