LOGARITMOS
Representación gráfica de logaritmos en varias bases:el rojo representa el logaritmo en base e,el verde corresponde a la base 10,y el purpura al de la base 1,7.Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (b, 1) para la base b, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.
En matemáticas, el logaritmo es el exponente (o potencia) a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para obtener un número dado.
Es la función inversa de la exponencial x = bn, que permite obtener n.
Esta función se escribe como: n = logb x.
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, puede encontrarse b con
radicales, n con logaritmos y x con esponenciación.
Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.
Historia
Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por vez primera los logaritmos. El método de logaritmos naturales fue propuesto inicialmente en 1614, en un libro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por John Napier (latinizado Neperus), Barón de Merchiston en Escocia, que nació cerca de1550, y murió en 1617, cuatro años después de la publicación de su memorable invención.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la realización de cálculos muy complejos. Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, era constantemente usado en estadística, navegación, y otras ramas de la matemática aplicada. Además de su utilidad en el cómputo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas.
Uso de logaritmos
La función logb(x) = a está definida donde quiera que x es un número real positivo y b es un número real positivo diferente a 1. Véase identidades logarítmicas para diversas reglas relacionadas a las funciones logarítmicas. También es posible definir logaritmos para argumentos
complejos.
Para enteros b y x, el número logb(x) es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tiene un factor primo que el otro no tiene.
jueves, 29 de mayo de 2008
Mathematics¿Eres bueno sumando y restando cifras? demuéstralo en este juego de matemáticas. Elige el resultado antes de que se acabe el tiempo
La descongelación de Fry
Fry se congeló el 1 de Enero de 2000 a las 0:00 AM. A partir de entonces, empezó una cuenta atrás de 1000 años para la descongelación. El problema es que existen distintos tipos de años (trópico, sideral, juliano, gregoriano...), cada uno con una duración particular determinada. El más "lógico" para usar es el "año gregoriano" medio, que tiene 365.2425 días y es por el que se rigen los calendarios actuales (que se llaman precisamente calendarios gregorianos). Por lo tanto, 1000 años son 365242.5 días. Entonces Fry se descongelaría el 31 de Diciembre de 2999 a las 12 del mediodía (teniendo en cuenta los años bisiestos y todo eso).
Efectivamente, Fry se descongela el 31 de Diciembre de 2999 y, aunque no queda explícitamente indicada la hora, todo parece indicar que ocurre hacia el mediodía.
Efectivamente, Fry se descongela el 31 de Diciembre de 2999 y, aunque no queda explícitamente indicada la hora, todo parece indicar que ocurre hacia el mediodía.
jueves, 22 de mayo de 2008
Add like mad
Add Like MadHaz click sobre los cuadrados y suma los números que te indican en la parte inferior del juego. Intenta deshacerte de todos los cuadrados de cada nivel
jueves, 8 de mayo de 2008
Sombrero Samuray de papel
Para aprender a construir un sombrero de los samurais con papel
Crear sombrero Samuray
Para realizar esta manualidad se ha de disponer de una hoja de papel (o cartulina) cuadrada.
Doblar diagonalmente la hoja cuadrada de papel...
...de este modo se obtendrá un doble triángulo, que se doblará de nuevo a lo largo de las líneas de trazos que unen los puntos medios de los catetos con el de la hipotenusa.
Ahora la estructura tiene una forma cuadrada (1cuarto del tamaño inicial), constituye la base del sombrero del samurai.
Se levantan las aletas doblándolas a lo largo de la diagonal -línea de trazos- uniendo los dos vértices con el de arriba.
Doblar de nuevo a lo largo de las dos líneas de trazos.
Doblar la primera ala de la parte inferior (dejando unos centímetros de la diagonal del cuadrado) -siguiendo la línea de trazos- hacia el vértice superior.
Una vez levantada el ala -como se puede ver en la figura- doblarla a lo largo de la línea que se sobrepone a la diagonal
Doblar la ala que queda hacia el otro lado, de manera que el vértice de dicha ala se coloque sobre el vértice superior del sombrero.
Apretar todos los lados del sombrero para marcar las líneas.
El sombrero de samurai también se denomina kabuto.
Papiroflexia y Matemáticas
No me resultaba difícil últimamente encontrarme con alguna composición, a partir de módulos, en la que se hallaran representados los tres planos del espacio. No obstante, la imagen ideal que yo podía tener de cómo representarlos no se ajustaba a lo que me iba encontrando.
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/papiroflexia/index.asp
Es por ello que me planteé el reto de realizar una composición modular con los tres planos cruzándose en el espacio y que estuvieran inscritos en un hexaedro. Me impuse también otros criterios como el de jugar con un color para cada plano, que los módulos fueran los menos posibles, que encastraran firmemente y que, por ende, resultaran relativamente fáciles de confeccionar.
Lo primero que me planteé fue la manera de reducir al mínimo los módulos. Sin pensármelo mucho, me puse –literalmente– manos a la obra: cogí seis papeles cuadrados, los doblé por la mitad formando rectángulos y me hice la composición sobre la marcha. Bien, aquello parecía que marchaba: los seis rectángulos podían entrecruzarse formando la composición que yo buscaba y ahora sólo me faltaba buscar la manera de hacerlos encastrar unos con los otros. ¡Necesitaba unos bolsillos en aquellos rectángulos y unas puntas que pudieran meterse en dichos bolsillos, pero cómo!
La verdad es que los que practicamos la papiroflexia de manera asidua tenemos una ventaja: muchas veces las soluciones nos vienen dadas por otras figuras, que en la inmensa mayoría de las veces no tienen nada que ver con lo que pretendemos. Así fue como, casi como un acto reflejo, tras plantearme el cómo sacar bolsillos y puntas, me vino de primeras a la cabeza una composición infantil tradicional: ¡el catamarán o barco doble! Aquella figura tenía todo lo que yo estaba buscando, y además en los lugares idóneos.
Al llevarlo a la práctica tuve un pequeño contratiempo: si hacía los plegados de la manera más perfecta que me fuera posible, tenía auténticos problemas de encaje, fundamentalemnte con los últimos módulos. Por un lado, el grosor del papel que se me acumulaba en el centro de los tres planos me impedía introducir las pestañas de estos últimos módulos en sus bolsillos correspondientes; y por otro, la ortogonalidad de los planos me dificultaba enormente encastrarlos.
Por tanto, y como consejo: Prestad atención al grosor del papel y, en función de ello, plegad en el paso número 2 con la suficiente “imperfección” que permita la holgura necesaria entre los bolsillos y el módulo (con sus pestañas) que se interpondrá entre ellos.
Suerte y que disfrutéis.
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/papiroflexia/index.asp
viernes, 11 de abril de 2008
Ball BalanceSuelta las bolas en esta balanza e intenta combinar tres en linea para hacerlas desaparecer. Tienes que tener en cuenta el peso de cada bola para mantener la balanza en equilibrio
viernes, 4 de abril de 2008
Biografía de Nicolás Copérnico
El 19 de Febrero de 1473 nació Nicolás Copérnico en Thorn (hoy Torún), ciudad de la Prusia Real (anexionada a Polonia en 1466), donde su padre se había asentado y casado con Bárbara Waztendole, hija de un próspero comerciante perteneciente a la burguesía local .
Nicolás Copérnico quedó a los 10 años de edad huérfano de padre, siendo acogido junto a su madre y hermanos, por Lucas Watzendrole, tío materno. De haber sido éste un rico comerciante como lo había sido el padre de Copérnico, quizás el joven Nicolás hubiera seguido sus pasos. Pero su tío, que era canónigo y llegaría un tiempo después a ser Obispo en la diócesis de Warmia, había previsto para él que tras una etapa de formación académica en Universidades de prestigio como Cracovia y Padua, en las que él también había estudiado, fuera nombrado canónigo y siguiera, también como él, la carrera eclesiástica. Él debía saber que esa era un buena ocupación: con el respaldo de la Iglesia de Roma y las posesiones del cabildo, su sobrino no debería volver a preocuparse de los aspectos materiales de su vida, pues tendrían ingresos garantizados.
Es de suponer que en aquellos años recibiera Copérnico una primera educación adecuada a los fines para los que parecía estar destinado, pero poco o nada se sabe a ciencia cierta sobre su vida y formación hasta que en 1491, con 18 años de edad, su tío le inscribe en la Universidad de Cracovia. Era la más famosa universidad del extenso reino de Polonia y gozaba de un prestigio académico reconocido en toda Europa. Las corrientes humanísticas ya habían llegado y convivían con prestigiosos estudios científicos. Existían activas cátedras de Astronomía y Astrología y entre sus profesores se encontraba Alberto Brudzewo, autor de un comentario a los trabajos astronómicos de Peuerbach que gozó de cierta fama. También parece documentado que alguno de los profesores de la universidad había colaborado con Regiomontano y se explicaban, entre otros, el “Tratado de la Esfera” de Sacrobosco y la “Teoría de los Planetas” de Peuerbach. Copérnico estudió “artes liberales”, un programa de formación básica universitaria que incluía cierta preparación en matemáticas. Pasó en Cracovia 4 años y en 1496 se marchó a Italia, a la Universidad de Bolonia donde también su tío había estudiado. Salvo una corta estancia en Polonia en 1501 para la toma de posesión como canónigo, pasaría en Italia siete años estudiando leyes y medicina entre Bolonia, Padua y Ferrara. En esos años italianos también llevó a cabo observaciones astronómicas que guardará toda su vida y además de completar su formación matemática y astronómica, aprendió griego y entró en contacto con las fuentes literarias, filosóficas y científicas que serían el alimento intelectual de generaciones. Conoció el renacer de las teorías pitagóricas y platónicas, tuvo noticia de los saberes ocultos y antiguos que atraviesan la historia y, también, indudablemente, tomó conciencia de los problemas que acosaban a la astronomía de su época. Con todo ese bagaje en la primavera del año 1503 emprende el viaje de vuelta a su patria de donde nunca más saldrá.
La vida de Copérnico sufrió un cambio radical. Fue a residir directamente al palacio obispal en Lidzbark. Su tío le acogió como médico y pronto también como consejero, secretario y ayudante íntimo en su labor política, administrativa y diplomática. Con él vivió y viajó durante los años siguientes, hasta la muerte del Obispo, ocurrida en 1512. Pero la influencia italiana no desapareció: Tradujo del griego al latín una obra bizantina del siglo VII que tituló “Epístolas morales, rurales y amatorias”. La publicó en 1509 e iba dedicada a su tío. Su importancia literaria es inapreciable, pero biográficamente tiene interés por tener un prólogo en forma de poema, escrito por un amigo de Copérnico, en el que éste comenta cómo Copérnico, además de acompañar a su tío, lleva acabo observaciones astronómicas de estrellas, Luna y Sol, sobre las que medita y trabaja. En efecto, alguna de estas observaciones, lo mismo que las hechas en Italia, aparecerán reflejadas en el “De Revolutionibus”. Así pues, Copérnico no había dejado su afición a los cielos. Más aun, parece estar fuera de dudas que en esa época escribió su primera versión del sistema heliocéntrico. Lo hizo en un manuscrito del que repartió unos cuantos ejemplares. Nunca se imprimió y de él se conservan sólo tres copias. El opúsculo en cuestión se titula “De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis comentariolus”, es decir, “Breve exposición de las hipótesis acerca de los movimientos celestes”, y, como es usual nos referiremos a él como el “Comentariolus”. Copérnico no lo firmó ni le puso fecha, lo que como tantas otras cosas referidas a nuestro protagonista, ha sido objeto de debate hasta hace no mucho tiempo. Se creyó que era un esbozo previo a su obra mayor, “De Revolutionibus” y que, en tal caso, no estaría escrita mucho antes, de modo que se establecía como fecha posible en torno a 1530, pero actualmente se admite como fecha tope para su elaboración el año 1514.
No es una obra estrictamente matemática, paro en absoluto está carente de argumentaciones y “técnicas” matemáticas, como la introducción de un tercer movimiento de la Tierra al que denominó “declinación”, necesario para mantener el eje paralelo a sí mismo durante su traslación y que le permitió dar cuenta, cualitativa pero simple y elegantemente, de uno de los fenómenos que más se habían resistido, la precesión de los equinoccios. Su lectura, pues, requería ciertos conocimientos que, por un lado la alejaban de los aficionados sin base y por otro supuso que a su autor se le tomara en serio.
El contenido del “Comentariolus” es el siguiente: Una breve introducción a la que siguen siete axiomas o postulados y, a continuación, los epígrafes titulados “El orden de las Esferas”, “Los movimientos aparentes del Sol”, “Los movimientos uniformes no deben referirse a los equinoccios sino a las estrellas fijas”, “La Luna”, “Los tres planetas superiores: Saturno, Júpiter y Marte”, “Venus” y “Mercurio”.
Los postulados que inauguran la astronomía heliocéntrica moderna aparecidos en el “Comentariolus” son los siguientes:
1. No existe un centro único de todos los círculos o esferas celestes.
2. El centro de la Tierra no es el centro del Universo, sino sólo de la gravedad y de la esfera de la Luna.
3. Todas las esferas giran alrededor del Sol y por lo cual es el centro del Mundo.
4. ... la distancia de la Tierra al Sol es imperceptible en comparación con la distancia del firmamento.
5. Cualquier movimiento que pueda aparecer en el firmamento, no se debe a ningún movimiento de este, sino al movimiento de la Tierra alrededor de sus polos fijos en un movimiento diario.
6. Los que se nos aparecen como movimientos del Sol no se deben a él mismo, sino que están ocasionados por el de la Tierra y nuestra esfera, con la que giramos alrededor del Sol como cualquier otro planeta, y así, la Tierra tiene varios movimientos.
7. Los movimientos observados en los planetas, de retrogradación o directos, tampoco provienen de sus movimientos sino del de la Tierra y este basta por sí solo para explicar las aparentes irregularidades que en el cielo se observan.
Es decir, una exposición de motivos, las hipótesis de trabajo y una reformulación de la astronomía de la época desde una nueva perspectiva heliocéntrica. Con todo ello consiguió lo que casi con seguridad había sido su preocupación principal: restaurar el movimiento uniforme en los cielos.
A la muerte de Lucas Watzendrole, acaecida en 1512, el capítulo de Warmia y los sucesivos obispos confiarán en Copérnico, bien como canciller, bien como administrador o visitador, y comenzará para él una época de actividad que casi podría describirse como febril. Durante los siguientes veinte años al menos, Copérnico deberá atender a la administración de bienes y servicios de la diócesis, llevará a cabo intensas gestiones diplomáticas, se verá inmerso en una guerra cruel en la que coordina la defensa y fortificación de las ciudades de la diócesis, habrá de meditar sobre los modos de enfrentarse a la inflación debida a los fraudes monetarios de los teutones (afrontó el problema desde una perspectiva teórica y comenzó la elaboración de un informe que terminaría siendo un tratado de economía monetaria -“Monéate cudendae ratio”- publicado en su versión definitiva en 1528), organizará los reasentamientos de colonos en las tierras de Warmia... y además de todo eso, observará el cielo, anotará pacientemente posiciones del Sol, días y horas de eclipses, ocultaciones y conjunciones, y comprobando pacientemente y de forma minuciosa cada dato conocido irá elaborando su obra magna, el “De Revolutionibus”. Sólo utilizó tres instrumentos: el Cuadrante (descrito en el Libro II, cap. 2 del De Revolutionibus), el Astrolabio (Libbro II, cap.14) y el “instrumento paraláctico” (Libro IV, cap. 15). Con ellos, desde su torre, observará Sol, Luna y estrellas durante esos años. La última observación que utiliza en el “De Revolutionibus” es del 12 de Marzo de 1529 y lo es del planeta Venus. Por entonces debía estar finalizando su redacción y tenía ya 56 años. Quizás demasiados para seguir observando en las frías noches bálticas. O quizás no necesitó más.
Prácticamente todos los especialistas piensan que “De revolutionibus” estaba acabado en torno a 1530. Pero Copérnico no lo publica. Que se sepa, ni intenciones de hacerlo tuvo.¿Por qué Copérnico, que llevaba quizás 20 años o más trabajando en esa obra, se mostraba indeciso y hasta remiso a publicarla? Él mismo esbozará algunos motivos en la dedicatoria del “De Revolutionibus”, pero, ¿por qué?. Sólo caben hipótesis: Los datos que profusamente utilizaba en su obra provenían de las obras antiguas y, por consiguiente, podían tener errores notables acumulados; por otro lado estaba el problema de la reforma religiosa planteada por el luteranismo y la sensación de vivir un periodo de ortodoxia cambiante en el que, quizás (y Copérnico sí que dio siempre muestras de portarse así) lo mejor era guardar cierta distancia y prudencia respecto a ciertas formulaciones que pudieran “herir sensibilidades” filosóficas o religiosas. Si a todo esto se añade (¿por qué no creerlo, si él mismo lo dice?) sus veleidades elitistas inspiradas en el secretismo pitagórico, quizás podamos hacernos una idea de por qué “De Revolutionibus” permaneció probablemente otra docena de años en los cajones de la mesa del canónigo de Frombork.
Sin embargo, lo que no pudo Copérnico fue evitar que las noticias de su existencia y de lo que pensaba acerca de los movimientos y ordenación de los cielos se extendieran por toda Europa como se atraviesan las membranas en un proceso osmótico. Los ecos de la figura solitaria de Frombork llegaron finalmente a la corte papal y en 1536 Copérnico recibió una carta del cardenal Nicolás Schömberg en la que se expresaba así: “Habiéndome hablado hace algunos años de tu capacidad, constante conversación de todos (...). Comprendí que no sólo conocías con suficiencia los hallazgos de los antiguos matemáticos, sino que habías establecido una nueva estructura del mundo, en virtud de la cual enseñas que la Tierra se mueve, que el Sol ocupa la base del mundo y por tanto el lugar central, que el octavo cielo permanece inmóvil y fijo perpetuamente ... “
Así pues, el personaje y la obra “flotaban en el ambiente” hasta el punto que desde las más altas instancias, religiosas por añadidura, se solicitaba la luz pública para estos trabajos.
La salida a la situación vendría con la aparición de un joven astrónomo y matemático que se convertiría en el único discípulo en vida de Copérnico y a quien éste consideró como un analizador y corrector suficientemente preparado como para cotejar con él sus cálculos.
Nos referimos a Rhetico (nombre latinizado que adoptó Georg Joachim von Lauchen, nacido en 1514 en la región de Retia, el Tirol austriaco), que apareció por Frombork al final de la primavera de1539.
Rhetico había tenido, gracias a la fortuna económica de sus padres, una educación amplia y exquisita que le había permitido viajar por Italia y estudiar en las universidades alemanas de prestigio: Gotinga, Nuremberg y Wittemberg. Llegó a ser un protegido de Melanchton por cuya influencia, posiblemente, se le concedió a los 22 años una de las dos cátedras de astronomía de la Universidad de Wittemberg, el centro universitario luterano por excelencia. También a la luterana Wittemberg habían llegado las noticias de la obra de Copérnico. Es precisamente Lutero una de las fuentes de ese dato, pues datada precisamente en ese año de 1539, se tiene noticia de una apreciación del líder reformista en la que manifiesta su desprecio por “un astrólogo que, contra lo que dicen las escrituras, propone establecer el movimiento de la Tierra y no del Sol”. Pero a Rhetico no le debía preocupar tanto la teoría astronómica contenida en la Biblia como la posibilidad de estudiar detenidamente, si existían, los cálculos del canónigo prusiano del que tanto se hablaba. Así pues, solicita permiso para desplazarse a conocer “in situ” al autor y a su obra.
Copérnico debió rápidamente reconocer en Rhetico al matemático competente que necesitaba y el joven matemático, que pronto percibió la valía e importancia de la obra que Copérnico guardaba desde hacía años, trató de convencerle de la necesidad de darla a conocer. Rhetico la analizó matemáticamente durante los dos intensos meses que duró la visita y ante la resistencia, a pesar de todo, de Copérnico, llegó a un acuerdo que debió plasmarse de la siguiente manera: Rhetico escribiría un resumen, más extenso y algo más técnico que el “Comentariolus” y sería esto lo que, de momento, se publicaría. Una especie de “globo sonda”. Inmediatamente finaliza Rhetico su trabajo, que fechó en Frombork, el 23 de Septiembre de 1539. El título es “De libris revolutionum Nicolai Copernici narratio prima” (primera narración de los libros de Nicolás Copérnico sobre las revoluciones) y tiene la forma de una carta dirigida a Juan Schöner, astrónomo en Nuremberg, perteneciente al círculo de humanistas que rodeaban a Melanchton. La “Narratio Prima”, que así se conoce, es considerada, a pesar de que su autoría es de Rhetico, como uno de los tres tratados copernicanos (junto al “Comentariolus” y la “carta contra Werner”) que anteceden a “De Revolutionibus”. En ella, Rhetico describe el contenido de los seis libros en los que se divide la obra de “su maestro”, hace apreciaciones sobre algunas particularidades geométricas del trabajo, defiende y explica el principio-guía de mantener exclusivamente movimientos uniformes con la eliminación del ecuante, y todo ello, recogiendo mediciones y cálculos que permitían justificar matemáticamente la nueva hipótesis. La “Narratio Prima” se publicó en Danzig en febrero de 1540 y se difundió intensamente entre los más reticentes, los luteranos. Su efecto debió ser notable pues inmediatamente se solicitó permiso para otra edición, que se hizo en Basilea a los pocos meses.
Rhetico, que había vuelto tras el verano a Wittemberg para continuar sus clases, retornó a Frombork en el verano de 1540. Para entonces las solicitudes y la presión sobre Copérnico para que desvelase su trabajo se habían hecho intensas y provenían de todas partes. El joven e ilusionado Rhetico no tuvo que esperar mucho, pues cuando abandonó Frombork, en agosto de 1541, quince meses después de su llegada, llevaba consigo una copia en limpio del manuscrito copernicano, dispuesta para ser impresa en Nuremberg.
A partir de ese momento se inicia el proceso de publicación del “De Revolutionibus” que, como tantas otras cosas relacionadas con Copérnico, ha estado rodeada de sombras, constituyendo, en este caso, uno de los episodios que más ha dado que hablar y más páginas escritas ha originado en la historia de la ciencia. Se trata del hecho de que el libro apareciera publicado con un prólogo que no había escrito Copérnico, ni tampoco Rhetico, y que avisaba al lector de que el contenido de la obra era hipotético y su finalidad simplemente la de facilitar los cálculos, sin corresponderse necesariamente con la realidad. Su autor (hecho descubierto curiosamente por Kepler) es Andreas Osiander y lo redacta de forma que no deja clara la autoría, con lo que podía ser interpretado, efectivamente, como una advertencia del propio autor que altera la intención de la obra. Si Copérnico leyó o no el texto de Osiander con anterioridad a ver la obra impresa es algo aun no resuelto. A finales de 1542 Copérnico sufrió una hemorragia cerebral que lo incapacitó parcialmente y supuso un grave deterioro de su salud. Fue en esas condiciones, si lo hizo, como leyó el texto que subrepticiamente cambiaba el significado de su obra.
En marzo de 1543 apareció finalmente publicada la obra que había estado gestándose durante 40 años. Su título fue “De Revolutionibus Orbium Celestium libri VI”. La edición incluía la “Advertencia al Lector” redactada por Osiander, la carta que el cardenal Schömberg había escrito a Copérnico en 1536 y una dedicatoria del propio Copérnico al Papa Paulo III, en la que Copérnico nos dice algo sobre la génesis de su trabajo.
Los seis libros de que consta la obra se pueden dividir en dos partes perfectamente diferenciadas. El Libro I es, fundamentalmente, la exposición cosmológica del Sistema Copernicano, y en él, sin ningún tipo de aparato matemático, se justifican las proposiciones fundamentales. Sólo los últimos capítulos de este primer libro están dedicados a presentar las matemáticas que usará para las pruebas científicas que en el resto del libro aparecen. Son los capítulos que ya había publicado Rhetico separadamente.
Los Libros II al VI constituyen la parte técnica de la obra. En ellos repasa, siguiendo un esquema clásico como el del Almagesto, las cuestiones de que se ocupaba la astronomía: movimientos del Sol y de la Luna, la precesión de los equinoccios, el movimiento de los planetas... dando soluciones a los mismos desde la perspectiva anunciada en la Dedicatoria y en el Libro I. Copérnico presenta en múltiples ocasiones la “historia” de las observaciones usadas o del modo de resolver alguna irregularidad. Usa profusamente de los datos heredados y conocidos del Almagesto, del Epítome de Regiomontano y otras obras clásicas, a los que añade los suyos, apareciendo 27 observaciones propias.
El contenido de estos cinco libros es de lectura prácticamente imposible para los no especialistas en astronomía de posición y geometría esférica, y, como él mismo reclama, debió, de hecho, quedar reservado su estudio a los astrónomos y matemáticos avezados y profesionales. Pero el Libro I no era matemático. Al contrario, era transparente en sus enunciados y razonamientos. La influencia que tuvo lo convirtió en la obra que dio el pistoletazo de salida a un proceso que haría cambiar la perspectiva que el hombre tenía del mundo y del modo como acercarse a él. También de la imagen que de sí mismo se había hecho hasta entonces.
Nicolás Copérnico quedó a los 10 años de edad huérfano de padre, siendo acogido junto a su madre y hermanos, por Lucas Watzendrole, tío materno. De haber sido éste un rico comerciante como lo había sido el padre de Copérnico, quizás el joven Nicolás hubiera seguido sus pasos. Pero su tío, que era canónigo y llegaría un tiempo después a ser Obispo en la diócesis de Warmia, había previsto para él que tras una etapa de formación académica en Universidades de prestigio como Cracovia y Padua, en las que él también había estudiado, fuera nombrado canónigo y siguiera, también como él, la carrera eclesiástica. Él debía saber que esa era un buena ocupación: con el respaldo de la Iglesia de Roma y las posesiones del cabildo, su sobrino no debería volver a preocuparse de los aspectos materiales de su vida, pues tendrían ingresos garantizados.
Es de suponer que en aquellos años recibiera Copérnico una primera educación adecuada a los fines para los que parecía estar destinado, pero poco o nada se sabe a ciencia cierta sobre su vida y formación hasta que en 1491, con 18 años de edad, su tío le inscribe en la Universidad de Cracovia. Era la más famosa universidad del extenso reino de Polonia y gozaba de un prestigio académico reconocido en toda Europa. Las corrientes humanísticas ya habían llegado y convivían con prestigiosos estudios científicos. Existían activas cátedras de Astronomía y Astrología y entre sus profesores se encontraba Alberto Brudzewo, autor de un comentario a los trabajos astronómicos de Peuerbach que gozó de cierta fama. También parece documentado que alguno de los profesores de la universidad había colaborado con Regiomontano y se explicaban, entre otros, el “Tratado de la Esfera” de Sacrobosco y la “Teoría de los Planetas” de Peuerbach. Copérnico estudió “artes liberales”, un programa de formación básica universitaria que incluía cierta preparación en matemáticas. Pasó en Cracovia 4 años y en 1496 se marchó a Italia, a la Universidad de Bolonia donde también su tío había estudiado. Salvo una corta estancia en Polonia en 1501 para la toma de posesión como canónigo, pasaría en Italia siete años estudiando leyes y medicina entre Bolonia, Padua y Ferrara. En esos años italianos también llevó a cabo observaciones astronómicas que guardará toda su vida y además de completar su formación matemática y astronómica, aprendió griego y entró en contacto con las fuentes literarias, filosóficas y científicas que serían el alimento intelectual de generaciones. Conoció el renacer de las teorías pitagóricas y platónicas, tuvo noticia de los saberes ocultos y antiguos que atraviesan la historia y, también, indudablemente, tomó conciencia de los problemas que acosaban a la astronomía de su época. Con todo ese bagaje en la primavera del año 1503 emprende el viaje de vuelta a su patria de donde nunca más saldrá.
La vida de Copérnico sufrió un cambio radical. Fue a residir directamente al palacio obispal en Lidzbark. Su tío le acogió como médico y pronto también como consejero, secretario y ayudante íntimo en su labor política, administrativa y diplomática. Con él vivió y viajó durante los años siguientes, hasta la muerte del Obispo, ocurrida en 1512. Pero la influencia italiana no desapareció: Tradujo del griego al latín una obra bizantina del siglo VII que tituló “Epístolas morales, rurales y amatorias”. La publicó en 1509 e iba dedicada a su tío. Su importancia literaria es inapreciable, pero biográficamente tiene interés por tener un prólogo en forma de poema, escrito por un amigo de Copérnico, en el que éste comenta cómo Copérnico, además de acompañar a su tío, lleva acabo observaciones astronómicas de estrellas, Luna y Sol, sobre las que medita y trabaja. En efecto, alguna de estas observaciones, lo mismo que las hechas en Italia, aparecerán reflejadas en el “De Revolutionibus”. Así pues, Copérnico no había dejado su afición a los cielos. Más aun, parece estar fuera de dudas que en esa época escribió su primera versión del sistema heliocéntrico. Lo hizo en un manuscrito del que repartió unos cuantos ejemplares. Nunca se imprimió y de él se conservan sólo tres copias. El opúsculo en cuestión se titula “De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis comentariolus”, es decir, “Breve exposición de las hipótesis acerca de los movimientos celestes”, y, como es usual nos referiremos a él como el “Comentariolus”. Copérnico no lo firmó ni le puso fecha, lo que como tantas otras cosas referidas a nuestro protagonista, ha sido objeto de debate hasta hace no mucho tiempo. Se creyó que era un esbozo previo a su obra mayor, “De Revolutionibus” y que, en tal caso, no estaría escrita mucho antes, de modo que se establecía como fecha posible en torno a 1530, pero actualmente se admite como fecha tope para su elaboración el año 1514.
No es una obra estrictamente matemática, paro en absoluto está carente de argumentaciones y “técnicas” matemáticas, como la introducción de un tercer movimiento de la Tierra al que denominó “declinación”, necesario para mantener el eje paralelo a sí mismo durante su traslación y que le permitió dar cuenta, cualitativa pero simple y elegantemente, de uno de los fenómenos que más se habían resistido, la precesión de los equinoccios. Su lectura, pues, requería ciertos conocimientos que, por un lado la alejaban de los aficionados sin base y por otro supuso que a su autor se le tomara en serio.
El contenido del “Comentariolus” es el siguiente: Una breve introducción a la que siguen siete axiomas o postulados y, a continuación, los epígrafes titulados “El orden de las Esferas”, “Los movimientos aparentes del Sol”, “Los movimientos uniformes no deben referirse a los equinoccios sino a las estrellas fijas”, “La Luna”, “Los tres planetas superiores: Saturno, Júpiter y Marte”, “Venus” y “Mercurio”.
Los postulados que inauguran la astronomía heliocéntrica moderna aparecidos en el “Comentariolus” son los siguientes:
1. No existe un centro único de todos los círculos o esferas celestes.
2. El centro de la Tierra no es el centro del Universo, sino sólo de la gravedad y de la esfera de la Luna.
3. Todas las esferas giran alrededor del Sol y por lo cual es el centro del Mundo.
4. ... la distancia de la Tierra al Sol es imperceptible en comparación con la distancia del firmamento.
5. Cualquier movimiento que pueda aparecer en el firmamento, no se debe a ningún movimiento de este, sino al movimiento de la Tierra alrededor de sus polos fijos en un movimiento diario.
6. Los que se nos aparecen como movimientos del Sol no se deben a él mismo, sino que están ocasionados por el de la Tierra y nuestra esfera, con la que giramos alrededor del Sol como cualquier otro planeta, y así, la Tierra tiene varios movimientos.
7. Los movimientos observados en los planetas, de retrogradación o directos, tampoco provienen de sus movimientos sino del de la Tierra y este basta por sí solo para explicar las aparentes irregularidades que en el cielo se observan.
Es decir, una exposición de motivos, las hipótesis de trabajo y una reformulación de la astronomía de la época desde una nueva perspectiva heliocéntrica. Con todo ello consiguió lo que casi con seguridad había sido su preocupación principal: restaurar el movimiento uniforme en los cielos.
A la muerte de Lucas Watzendrole, acaecida en 1512, el capítulo de Warmia y los sucesivos obispos confiarán en Copérnico, bien como canciller, bien como administrador o visitador, y comenzará para él una época de actividad que casi podría describirse como febril. Durante los siguientes veinte años al menos, Copérnico deberá atender a la administración de bienes y servicios de la diócesis, llevará a cabo intensas gestiones diplomáticas, se verá inmerso en una guerra cruel en la que coordina la defensa y fortificación de las ciudades de la diócesis, habrá de meditar sobre los modos de enfrentarse a la inflación debida a los fraudes monetarios de los teutones (afrontó el problema desde una perspectiva teórica y comenzó la elaboración de un informe que terminaría siendo un tratado de economía monetaria -“Monéate cudendae ratio”- publicado en su versión definitiva en 1528), organizará los reasentamientos de colonos en las tierras de Warmia... y además de todo eso, observará el cielo, anotará pacientemente posiciones del Sol, días y horas de eclipses, ocultaciones y conjunciones, y comprobando pacientemente y de forma minuciosa cada dato conocido irá elaborando su obra magna, el “De Revolutionibus”. Sólo utilizó tres instrumentos: el Cuadrante (descrito en el Libro II, cap. 2 del De Revolutionibus), el Astrolabio (Libbro II, cap.14) y el “instrumento paraláctico” (Libro IV, cap. 15). Con ellos, desde su torre, observará Sol, Luna y estrellas durante esos años. La última observación que utiliza en el “De Revolutionibus” es del 12 de Marzo de 1529 y lo es del planeta Venus. Por entonces debía estar finalizando su redacción y tenía ya 56 años. Quizás demasiados para seguir observando en las frías noches bálticas. O quizás no necesitó más.
Prácticamente todos los especialistas piensan que “De revolutionibus” estaba acabado en torno a 1530. Pero Copérnico no lo publica. Que se sepa, ni intenciones de hacerlo tuvo.¿Por qué Copérnico, que llevaba quizás 20 años o más trabajando en esa obra, se mostraba indeciso y hasta remiso a publicarla? Él mismo esbozará algunos motivos en la dedicatoria del “De Revolutionibus”, pero, ¿por qué?. Sólo caben hipótesis: Los datos que profusamente utilizaba en su obra provenían de las obras antiguas y, por consiguiente, podían tener errores notables acumulados; por otro lado estaba el problema de la reforma religiosa planteada por el luteranismo y la sensación de vivir un periodo de ortodoxia cambiante en el que, quizás (y Copérnico sí que dio siempre muestras de portarse así) lo mejor era guardar cierta distancia y prudencia respecto a ciertas formulaciones que pudieran “herir sensibilidades” filosóficas o religiosas. Si a todo esto se añade (¿por qué no creerlo, si él mismo lo dice?) sus veleidades elitistas inspiradas en el secretismo pitagórico, quizás podamos hacernos una idea de por qué “De Revolutionibus” permaneció probablemente otra docena de años en los cajones de la mesa del canónigo de Frombork.
Sin embargo, lo que no pudo Copérnico fue evitar que las noticias de su existencia y de lo que pensaba acerca de los movimientos y ordenación de los cielos se extendieran por toda Europa como se atraviesan las membranas en un proceso osmótico. Los ecos de la figura solitaria de Frombork llegaron finalmente a la corte papal y en 1536 Copérnico recibió una carta del cardenal Nicolás Schömberg en la que se expresaba así: “Habiéndome hablado hace algunos años de tu capacidad, constante conversación de todos (...). Comprendí que no sólo conocías con suficiencia los hallazgos de los antiguos matemáticos, sino que habías establecido una nueva estructura del mundo, en virtud de la cual enseñas que la Tierra se mueve, que el Sol ocupa la base del mundo y por tanto el lugar central, que el octavo cielo permanece inmóvil y fijo perpetuamente ... “
Así pues, el personaje y la obra “flotaban en el ambiente” hasta el punto que desde las más altas instancias, religiosas por añadidura, se solicitaba la luz pública para estos trabajos.
La salida a la situación vendría con la aparición de un joven astrónomo y matemático que se convertiría en el único discípulo en vida de Copérnico y a quien éste consideró como un analizador y corrector suficientemente preparado como para cotejar con él sus cálculos.
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Cuadro de Jan Matejko (siglo XIX) que muestra a Copérnico en el castillo de Olsztyn (Warmia) rodeado de un astrolabio y la imagen del sistema heliocentrista de "De Revolutionibus". |
Nos referimos a Rhetico (nombre latinizado que adoptó Georg Joachim von Lauchen, nacido en 1514 en la región de Retia, el Tirol austriaco), que apareció por Frombork al final de la primavera de1539.
Rhetico había tenido, gracias a la fortuna económica de sus padres, una educación amplia y exquisita que le había permitido viajar por Italia y estudiar en las universidades alemanas de prestigio: Gotinga, Nuremberg y Wittemberg. Llegó a ser un protegido de Melanchton por cuya influencia, posiblemente, se le concedió a los 22 años una de las dos cátedras de astronomía de la Universidad de Wittemberg, el centro universitario luterano por excelencia. También a la luterana Wittemberg habían llegado las noticias de la obra de Copérnico. Es precisamente Lutero una de las fuentes de ese dato, pues datada precisamente en ese año de 1539, se tiene noticia de una apreciación del líder reformista en la que manifiesta su desprecio por “un astrólogo que, contra lo que dicen las escrituras, propone establecer el movimiento de la Tierra y no del Sol”. Pero a Rhetico no le debía preocupar tanto la teoría astronómica contenida en la Biblia como la posibilidad de estudiar detenidamente, si existían, los cálculos del canónigo prusiano del que tanto se hablaba. Así pues, solicita permiso para desplazarse a conocer “in situ” al autor y a su obra.
Copérnico debió rápidamente reconocer en Rhetico al matemático competente que necesitaba y el joven matemático, que pronto percibió la valía e importancia de la obra que Copérnico guardaba desde hacía años, trató de convencerle de la necesidad de darla a conocer. Rhetico la analizó matemáticamente durante los dos intensos meses que duró la visita y ante la resistencia, a pesar de todo, de Copérnico, llegó a un acuerdo que debió plasmarse de la siguiente manera: Rhetico escribiría un resumen, más extenso y algo más técnico que el “Comentariolus” y sería esto lo que, de momento, se publicaría. Una especie de “globo sonda”. Inmediatamente finaliza Rhetico su trabajo, que fechó en Frombork, el 23 de Septiembre de 1539. El título es “De libris revolutionum Nicolai Copernici narratio prima” (primera narración de los libros de Nicolás Copérnico sobre las revoluciones) y tiene la forma de una carta dirigida a Juan Schöner, astrónomo en Nuremberg, perteneciente al círculo de humanistas que rodeaban a Melanchton. La “Narratio Prima”, que así se conoce, es considerada, a pesar de que su autoría es de Rhetico, como uno de los tres tratados copernicanos (junto al “Comentariolus” y la “carta contra Werner”) que anteceden a “De Revolutionibus”. En ella, Rhetico describe el contenido de los seis libros en los que se divide la obra de “su maestro”, hace apreciaciones sobre algunas particularidades geométricas del trabajo, defiende y explica el principio-guía de mantener exclusivamente movimientos uniformes con la eliminación del ecuante, y todo ello, recogiendo mediciones y cálculos que permitían justificar matemáticamente la nueva hipótesis. La “Narratio Prima” se publicó en Danzig en febrero de 1540 y se difundió intensamente entre los más reticentes, los luteranos. Su efecto debió ser notable pues inmediatamente se solicitó permiso para otra edición, que se hizo en Basilea a los pocos meses.
Rhetico, que había vuelto tras el verano a Wittemberg para continuar sus clases, retornó a Frombork en el verano de 1540. Para entonces las solicitudes y la presión sobre Copérnico para que desvelase su trabajo se habían hecho intensas y provenían de todas partes. El joven e ilusionado Rhetico no tuvo que esperar mucho, pues cuando abandonó Frombork, en agosto de 1541, quince meses después de su llegada, llevaba consigo una copia en limpio del manuscrito copernicano, dispuesta para ser impresa en Nuremberg.
A partir de ese momento se inicia el proceso de publicación del “De Revolutionibus” que, como tantas otras cosas relacionadas con Copérnico, ha estado rodeada de sombras, constituyendo, en este caso, uno de los episodios que más ha dado que hablar y más páginas escritas ha originado en la historia de la ciencia. Se trata del hecho de que el libro apareciera publicado con un prólogo que no había escrito Copérnico, ni tampoco Rhetico, y que avisaba al lector de que el contenido de la obra era hipotético y su finalidad simplemente la de facilitar los cálculos, sin corresponderse necesariamente con la realidad. Su autor (hecho descubierto curiosamente por Kepler) es Andreas Osiander y lo redacta de forma que no deja clara la autoría, con lo que podía ser interpretado, efectivamente, como una advertencia del propio autor que altera la intención de la obra. Si Copérnico leyó o no el texto de Osiander con anterioridad a ver la obra impresa es algo aun no resuelto. A finales de 1542 Copérnico sufrió una hemorragia cerebral que lo incapacitó parcialmente y supuso un grave deterioro de su salud. Fue en esas condiciones, si lo hizo, como leyó el texto que subrepticiamente cambiaba el significado de su obra.
En marzo de 1543 apareció finalmente publicada la obra que había estado gestándose durante 40 años. Su título fue “De Revolutionibus Orbium Celestium libri VI”. La edición incluía la “Advertencia al Lector” redactada por Osiander, la carta que el cardenal Schömberg había escrito a Copérnico en 1536 y una dedicatoria del propio Copérnico al Papa Paulo III, en la que Copérnico nos dice algo sobre la génesis de su trabajo.Los seis libros de que consta la obra se pueden dividir en dos partes perfectamente diferenciadas. El Libro I es, fundamentalmente, la exposición cosmológica del Sistema Copernicano, y en él, sin ningún tipo de aparato matemático, se justifican las proposiciones fundamentales. Sólo los últimos capítulos de este primer libro están dedicados a presentar las matemáticas que usará para las pruebas científicas que en el resto del libro aparecen. Son los capítulos que ya había publicado Rhetico separadamente.
Los Libros II al VI constituyen la parte técnica de la obra. En ellos repasa, siguiendo un esquema clásico como el del Almagesto, las cuestiones de que se ocupaba la astronomía: movimientos del Sol y de la Luna, la precesión de los equinoccios, el movimiento de los planetas... dando soluciones a los mismos desde la perspectiva anunciada en la Dedicatoria y en el Libro I. Copérnico presenta en múltiples ocasiones la “historia” de las observaciones usadas o del modo de resolver alguna irregularidad. Usa profusamente de los datos heredados y conocidos del Almagesto, del Epítome de Regiomontano y otras obras clásicas, a los que añade los suyos, apareciendo 27 observaciones propias.
El contenido de estos cinco libros es de lectura prácticamente imposible para los no especialistas en astronomía de posición y geometría esférica, y, como él mismo reclama, debió, de hecho, quedar reservado su estudio a los astrónomos y matemáticos avezados y profesionales. Pero el Libro I no era matemático. Al contrario, era transparente en sus enunciados y razonamientos. La influencia que tuvo lo convirtió en la obra que dio el pistoletazo de salida a un proceso que haría cambiar la perspectiva que el hombre tenía del mundo y del modo como acercarse a él. También de la imagen que de sí mismo se había hecho hasta entonces.
biografía de Arquímedes de siracusa.
Sabemos por él mismo (Arenario, I 9) que fue hijo de Fidias, astrónomo. Mantuvo, al parecer, buenas relaciones con la dinastía siracusana y le rindió cumplidos servicios: tal vez fuera una especie de consejero áulico del tirano Hierón II, a cuyo hijo -y corregente- Gelón está dedicado el Arenario. Hierón, un sagaz estadista, procuró sacar partido de la inventiva de Arquímedes, sobre todo en obras de fortificación y defensa militar, al tiempo que lamentaba no disponer en sus dominios de otro talento similar para el desarrollo de la agricultura.
El dato mejor establecido de la vida de Arquímedes es su muerte en el fragor de la toma y saqueo de su ciudad natal, Siracusa, en 212 a.n.e. Es fama que murió a manos de un legionario mientras se hallaba absorto en la consideración de un problema geométrico, aunque ésta sólo sea una de las varias versiones que correrían siglos después sobre una desgracia también sentida por el general romano Marcelo, ansioso de conocer al “Briareo geómetra” que había contenido y atemorizado con toda suerte de máquinas y artilugios defensivos a sus tropas de asalto. Si, a partir de ese dato, diéramos crédito a lo que Tzetzes, un polígrafo bizantino del s. XII, afirma sobre Arquímedes: «trabajó en geometría hasta edad avanzada viviendo 75 años» (Quiliades, 2, historia xxxv), podríamos suponer que nació el año 287 a.n.e.
Nada tenemos acerca de su formación como no sean conjeturas. Puede que, bajo la tutela de su padre, estudiara astronomía: no solo estaba bien informado -es nuestra primera fuente sobre la concepción heliocéntrica de Aristarco-, sino que construyó un planetario o una esfera celeste móvil donde estaban representadas las constelaciones -formó parte del botín romano (Cicerón, De re pub., I, xiv, 21-22)-, además de escribir una obra hoy perdida sobre este tipo de aparatos; el citado Arenario da ya muestras de su interés por las mediciones angulares. Puede también que la astronomía lo condujera inicialmente hasta Eudoxo, aunque luego le interesasen de él en especial sus contribuciones matemáticas y en particular los supuestos implícitos en su método de convergencia. Se dice, cómo no, que viajó a Egipto y, más aún, que dejó allí la impronta de su ingenio con la invención de una coclías, “rosca o tornillo de Arquímedes” -sabemos que los romanos emplearon una coclías de roble en una mina de Sotiel Coronada (Huelva) para la extracción de agua-. En la misma onda, cabe suponer que hiciera la “obligada visita” a Alejandría. Lo cierto, en todo caso, es su comunicación personal y su correspondencia científica con algunos matemáticos alejandrinos distinguidos por su competencia matemática, Conon de Samos, o por su valía intelectual, Eratóstenes de Cirene, o por alguna otra razón que hoy se nos escapa, Dositeo de Pelusio. Pero sus relaciones con la comunidad alejandrina, tal vez investida de una ortodoxia post-euclídea, no dejaron de ser un tanto problemáticas: Arquímedes parece impacientarse en ocasiones, como Apolonio, ante unos investigadores y becarios -digamos- del Museo de Alejandría que han sustituido la investigación original por el celo escolar en las demostraciones de lo ya sabido. Aparte de esos eventuales viajes, se supone que Arquímedes residió siempre en Siracusa donde -según las leyendas- gozó de gran popularidad gracias a alguna extravagancia y a no pocas maravillas. Por ejemplo, se cuenta que, tras advertir en el baño la existencia de plata mezclada con oro en una corona real, corrió desnudo a la calle gritando: «¡Eureka! [héureka, lo descubrí]» (Vitrubio, De archit. IX, c. 3); no consta si se refería a un fraude del artífice de la corona real, o al principio de la densidad relativa de los cuerpos: un sólido sumergido en un fluido menos denso que él experimenta un empuje vertical hacia arriba de intensidad igual al peso del volumen del fluido desalojado, cf. Sobre los cuerpos flotantes, I). Por otro lado, entre sus maravillas, se recuerda el arrastre por la playa, sin apenas esfuerzo y mediante un juego combinado de poleas, de una pesada embarcación de transporte de tres mástiles con toda su carga (Plutarco, Vidas. Marcelo, c. xiv). A esta exhibición se asocia la frase de Arquímedes
:
«Si hubiera otro mundo, desde él podría mover éste» (Plutarco, ibd.) o, según otra versión, «Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra» (Papo, Collect. VIII 11).
Lo cierto es su estudio de los centros de gravedad y las condiciones de equilibrio de la palanca (Sobre el equilibrio de los planos). Pero sus invenciones más célebres fueron las que ingenió para defender Siracusa del asalto romano: toda suerte de ballestas y catapultas; máquinas con cabrestantes y con brazos articulados, capaces de atrapar y levantar en el aire o estrellar contra las rocas las naves enemigas; espejos parabólicos ustorios, capaces de concentrar los rayos solares sobre esas mismas naves hasta el punto de incendiarlas (Plutarco, ibd., c. xv). La leyenda, en este caso sin un respaldo científico acreditado, ha sido pródiga en especulaciones y discusiones posteriores.
Pero la producción teórica de Arquímedes, desde el punto de vista de la historia de la ciencia, aún es más impresionante. No sólo por sus primicias físico-matemáticas, como la fundación de la estática y la hidrostática, sino sobre todo por su inteligencia matemática y sus contribuciones en geometría superior, más allá de los Elementos. Un vivo debate en torno a su biografía se centra justamente en las relaciones entre estas dos dimensiones de su obra: la ingeniería y la ciencia, la inventiva técnica y la investigación teórica.
Según Plutarco, un autor de la 2ª mitad del s. I que se dejaba llevar del neoplatonismo circundante, Arquímedes valoraba sus contribuciones teóricas muy por encima de sus invenciones prácticas: sus máquinas no pasaban de ser divertimentos o concesiones a las demandas regias (Marcelo, xiv). Hoy Schneider [14] tiende a pensar lo contrario y, entre otras consideraciones, vindica un interés primigenio de Arquímedes por las artes técnicas antes de plantearse cuestiones naturales y mecánicas y dedicarse a las matemáticas. Puede que el propio Arquímedes hubiera querido decir una última palabra si fuese cierto, como aseguran Cicerón (Tusc. Disputationes, V, xxiii 64-66) y Plutarco (Marcelo, xvii), el encargo a sus deudos de grabar sobre su tumba un resultado geométrico del que se sentía especialmente orgulloso: la figura de un cilindro que circunscribe una esfera y la razón por la que el volumen del cilindro excede al de la esfera, siendo aquél una vez y media ésta (Sobre la esfera..., I, 34 corolario; cf. Método, 2 [3, p. 47]).
El dato mejor establecido de la vida de Arquímedes es su muerte en el fragor de la toma y saqueo de su ciudad natal, Siracusa, en 212 a.n.e. Es fama que murió a manos de un legionario mientras se hallaba absorto en la consideración de un problema geométrico, aunque ésta sólo sea una de las varias versiones que correrían siglos después sobre una desgracia también sentida por el general romano Marcelo, ansioso de conocer al “Briareo geómetra” que había contenido y atemorizado con toda suerte de máquinas y artilugios defensivos a sus tropas de asalto. Si, a partir de ese dato, diéramos crédito a lo que Tzetzes, un polígrafo bizantino del s. XII, afirma sobre Arquímedes: «trabajó en geometría hasta edad avanzada viviendo 75 años» (Quiliades, 2, historia xxxv), podríamos suponer que nació el año 287 a.n.e.
Nada tenemos acerca de su formación como no sean conjeturas. Puede que, bajo la tutela de su padre, estudiara astronomía: no solo estaba bien informado -es nuestra primera fuente sobre la concepción heliocéntrica de Aristarco-, sino que construyó un planetario o una esfera celeste móvil donde estaban representadas las constelaciones -formó parte del botín romano (Cicerón, De re pub., I, xiv, 21-22)-, además de escribir una obra hoy perdida sobre este tipo de aparatos; el citado Arenario da ya muestras de su interés por las mediciones angulares. Puede también que la astronomía lo condujera inicialmente hasta Eudoxo, aunque luego le interesasen de él en especial sus contribuciones matemáticas y en particular los supuestos implícitos en su método de convergencia. Se dice, cómo no, que viajó a Egipto y, más aún, que dejó allí la impronta de su ingenio con la invención de una coclías, “rosca o tornillo de Arquímedes” -sabemos que los romanos emplearon una coclías de roble en una mina de Sotiel Coronada (Huelva) para la extracción de agua-. En la misma onda, cabe suponer que hiciera la “obligada visita” a Alejandría. Lo cierto, en todo caso, es su comunicación personal y su correspondencia científica con algunos matemáticos alejandrinos distinguidos por su competencia matemática, Conon de Samos, o por su valía intelectual, Eratóstenes de Cirene, o por alguna otra razón que hoy se nos escapa, Dositeo de Pelusio. Pero sus relaciones con la comunidad alejandrina, tal vez investida de una ortodoxia post-euclídea, no dejaron de ser un tanto problemáticas: Arquímedes parece impacientarse en ocasiones, como Apolonio, ante unos investigadores y becarios -digamos- del Museo de Alejandría que han sustituido la investigación original por el celo escolar en las demostraciones de lo ya sabido. Aparte de esos eventuales viajes, se supone que Arquímedes residió siempre en Siracusa donde -según las leyendas- gozó de gran popularidad gracias a alguna extravagancia y a no pocas maravillas. Por ejemplo, se cuenta que, tras advertir en el baño la existencia de plata mezclada con oro en una corona real, corrió desnudo a la calle gritando: «¡Eureka! [héureka, lo descubrí]» (Vitrubio, De archit. IX, c. 3); no consta si se refería a un fraude del artífice de la corona real, o al principio de la densidad relativa de los cuerpos: un sólido sumergido en un fluido menos denso que él experimenta un empuje vertical hacia arriba de intensidad igual al peso del volumen del fluido desalojado, cf. Sobre los cuerpos flotantes, I). Por otro lado, entre sus maravillas, se recuerda el arrastre por la playa, sin apenas esfuerzo y mediante un juego combinado de poleas, de una pesada embarcación de transporte de tres mástiles con toda su carga (Plutarco, Vidas. Marcelo, c. xiv). A esta exhibición se asocia la frase de Arquímedes
:
«Si hubiera otro mundo, desde él podría mover éste» (Plutarco, ibd.) o, según otra versión, «Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra» (Papo, Collect. VIII 11).
Lo cierto es su estudio de los centros de gravedad y las condiciones de equilibrio de la palanca (Sobre el equilibrio de los planos). Pero sus invenciones más célebres fueron las que ingenió para defender Siracusa del asalto romano: toda suerte de ballestas y catapultas; máquinas con cabrestantes y con brazos articulados, capaces de atrapar y levantar en el aire o estrellar contra las rocas las naves enemigas; espejos parabólicos ustorios, capaces de concentrar los rayos solares sobre esas mismas naves hasta el punto de incendiarlas (Plutarco, ibd., c. xv). La leyenda, en este caso sin un respaldo científico acreditado, ha sido pródiga en especulaciones y discusiones posteriores.
Pero la producción teórica de Arquímedes, desde el punto de vista de la historia de la ciencia, aún es más impresionante. No sólo por sus primicias físico-matemáticas, como la fundación de la estática y la hidrostática, sino sobre todo por su inteligencia matemática y sus contribuciones en geometría superior, más allá de los Elementos. Un vivo debate en torno a su biografía se centra justamente en las relaciones entre estas dos dimensiones de su obra: la ingeniería y la ciencia, la inventiva técnica y la investigación teórica.
Según Plutarco, un autor de la 2ª mitad del s. I que se dejaba llevar del neoplatonismo circundante, Arquímedes valoraba sus contribuciones teóricas muy por encima de sus invenciones prácticas: sus máquinas no pasaban de ser divertimentos o concesiones a las demandas regias (Marcelo, xiv). Hoy Schneider [14] tiende a pensar lo contrario y, entre otras consideraciones, vindica un interés primigenio de Arquímedes por las artes técnicas antes de plantearse cuestiones naturales y mecánicas y dedicarse a las matemáticas. Puede que el propio Arquímedes hubiera querido decir una última palabra si fuese cierto, como aseguran Cicerón (Tusc. Disputationes, V, xxiii 64-66) y Plutarco (Marcelo, xvii), el encargo a sus deudos de grabar sobre su tumba un resultado geométrico del que se sentía especialmente orgulloso: la figura de un cilindro que circunscribe una esfera y la razón por la que el volumen del cilindro excede al de la esfera, siendo aquél una vez y media ésta (Sobre la esfera..., I, 34 corolario; cf. Método, 2 [3, p. 47]).
Los escritos de Arquímedes fueron múltiples y variados. Aparte de la cuestión de autoría, en parte facilitada por su dialecto dorio original y en parte complicada por el amplio eco de su nombre en la Edad Media [6], un problema crucial es la cronología de las obras acreditadas y conservadas (cf. [8] y [13]).
Este punto tiene gran importancia para determinar la posible evolución del pensamiento matemático de Arquímedes, desde una primera filiación más bien eudoxiana hasta su propia madurez post-euclídea –sus relaciones con los Elementos y el Euclides alejandrino distan de estar claras–. Las obras conocidas suelen clasificarse dentro de tres grupos más o menos característicos (añadiré a cada título su probable número de orden cronológico, a la luz del estado actual de la discusión al respecto):
(A) Escritos matemáticos dirigidos a la demostración de proposiciones sobre áreas y volúmenes de figuras limitadas por líneas o superficies curvas: Sobre la medida del círculo (1), Sobre la cuadratura de la parábola (3), Sobre la esfera y el cilindro (6), Sobre espirales (7), Sobre conoides y esferoides (8).
(B) Obras que proceden al planteamiento y la resolución geométrica de problemas de estática e hidrostática, o se sirven de consideraciones mecánicas en el tratamiento de cuestiones geométricas: Sobre el equilibrio de planos I, II (4), Sobre los cuerpos flotantes I, II (5), Método (9).
(C) Trabajos con un aire de miscelánea matemática: Arenario (2), El problema de los bueyes (¿?), Stomachion (fragmentado, ¿?).
Por lo demás, no faltan otras muchas recensiones, atribuciones dudosas y referencias a obras perdidas sobre temas aritméticos -sistemas de numeración-, geométricos -poliedros semirregulares-, astronómicos -técnicas de construcción de planetarios-, ópticos -espejos y fenómenos de refracción- o, en fin, mecánicos -“balanzas”, estudios de centros de gravedad y de condiciones de equilibrio-, hasta cubrir una lista total de unos 30 títulos. Alguna de las obras acreditadas ha cobrado una especie de historia propia, en especial el Método (la carta a Eratóstenes sobre el método relativo a las proposiciones mecánicas). La inesperada aparición, en 1906, del palimpsesto bizantino -originario del s. X- que lo contenía, provocó una reedición en 1913 de las obras acreditadas de Arquímedes; y ahora, tanto su reciente reaparición -en una subasta de Christie’s en 1998-, como su tratamiento digitalizado están motivando una nueva edición crítica en curso, con repercusiones no sólo eruditas sino hermenéuticas (cf. [10]).
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Portada de la Edición de Heiberg de las obras de Arquímedes editadas entre 1910-13 (incluye el método recién descubierto en 1906). |
La interpretación del sentido y de la significación de su forma de hacer matemáticas es seguramente la cuestión más interesante y debatida sobre Arquímedes. Por fortuna, es una rara avis entre los antiguos matemáticos a la hora de explicitar sus supuestos y procedimientos. Para empezar, da a entender una suerte de realismo matemático de las propiedades inmanentes en los objetos geométricos (“figuras”), cuando trata de explicar su descubrimiento de ciertas relaciones entre el cono y la esfera:
«Estas propiedades ya eran inherentes por naturaleza a tales figuras, pero las ignoraban quienes se habían dedicado antes que nosotros a la geometría porque nadie había reparado en la simetría que hay entre esas figuras» (Prefacio de Sobre la esfera y el cilindro, I).
Puede que esta sensibilidad hacia la simetría sea una de las claves de su olfato geométrico y físico-matemático. De hecho, la idea de simetría también desempeña un papel notable en su concepción del equilibrio en estática. Pero no faltan ocasiones en la que se muestra más bien indiferente o ecléctico, e. g. al adoptar dos modelos distintos de referencia, uno cosmológico de líneas convergentes (Sobre los cuerpos flotantes, I), el otro geométrico de verticales paralelas (ibd., II), en sus estudios de hidrostática. En todo caso, resaltan una libertad de movimientos, una lucidez teórica y metódica, y un interés por la investigación monográfica avanzada que dan a su trabajo matemático un aire moderno de originalidad y autonomía. Este aire moderno es uno de los problemas subyacentes en la comprensión de la forma de hacer matemáticas de Arquímedes.
El Método, su comunicación a Eratóstenes sobre el uso de nociones mecánicas en la investigación y la prueba plausible -no demostración canónica- de resultados geométricos, es casi un paradigma a ese respecto. En algunas sugerencias de los experimentos mentales de equilibrio allí expuestos -e.g. en la consideración de líneas como palancas y, más aún, en el supuesto de que las figuras se componen o llenan de sus cuerdas (o, para el caso, los sólidos de sus secciones)-, se han querido ver no sólo violaciones de la norma geométrica clásica, sino un preludio físico-matemático moderno y, más aún, el uso de infinitesimales hasta, en definitiva, el origen del cálculo integral e incluso la idea de límite (tópicos reiterados a partir de la entusiasta interpretación de [12]). Con todo y por mucho que se insista en el talento creador de Arquímedes, no son menos ciertas la integración de su obra en la doble tradición matemática griega, -calculística y métrica por un lado, deductiva y “axiomatiforme” por otro-, y sus contribuciones al desarrollo de la prueba dentro del marco finitista clásico, según muestra su tratamiento alternativo de algún problema del Método en Sobre la cuadratura de la parábola. La contribución más notable en este sentido es su refinamiento de la base teórica del método de convergencia avanzada por Eudoxo y sentada por Euclides, al adoptar como lema en el prefacio de Sobre la cuadratura:
«El exceso de la mayor de dos áreas desiguales sobre la menor [es una magnitud que] puede sobrepasar, si es añadida a sí misma [cuantas veces sea preciso], cualquier área finita dada»
y como asunción 5ª en Sobre la esfera y el cilindro (cf. el prefacio de Sobre las espirales):
«De dos líneas o superficies o sólidos desiguales, la mayor excede a la menor en una magnitud que, añadida a sí misma, puede exceder cualquier magnitud dada entre las consideradas».
Estas precisiones añaden a la consideración euclídea de la multiplicación o la aditividad (Elem. V, deff. 3-4), el caso de los excesos o las diferencias, y envuelven dos condiciones al respecto: (1) la diferencia entre magnitudes es una magnitud, y (2) es una magnitud del mismo tipo o de la misma dimensión que las consideradas.
jueves, 13 de marzo de 2008
Solitario
viernes, 22 de febrero de 2008
CAMPANA, DIABOLO, CILINDRO
FORMAS GEOMÉTRICAS PARA LAS TALLAS.
Las tallas actuales de ropa tienen los días contados. El patrón clásico de medición dejará paso en unos dos años a un tallaje más ajustado al perfil físico de las mujeres. Esta revolución textil que el Gobierno pretende llevar a Bruselas con rango de normativa busca promover una imagen de belleza más saludable. Para ello, el Ministerio de Sanidad presentó ayer un estudio pionero del que se extraen tres morfotipos o categorías generales entre la población femenina española, y que ayudarán a conformar las nuevas medidas para la ropa.
Estas categorías se forman como resultado de medir los perímetros de busto, cintura y cadera en relación con la estatura. Para ello se han cogido muestras de más de 10.000 mujeres de entre 12 y 70 años, de 59 ciudades españolas. Se tratan de morfotipos que no se habían catalogado hasta ahora, ya que la anatomía siempre ha establecido categorías científicas en función del sexo masculino, como así se regula desde 1972. Este desfase explica como hoy en día un 40% de las mujeres tiene problemas para encontrar su talla, según revela el estudio elaborado por Sanidad.
Con los datos antropométricos en la mano, los técnicos han establecido que el cuerpo femenino responde a tres categorías según su forma anatómica: diábolo, campana y cilindro, que representan «con precisión y de forma proporcional» a las mujeres, según el ministro Bernat Soria. De esta manera, el tamaño de la ropa quedaría ahora definido por códigos con tres dígitos que contemplarían los parámetros citados (pecho, cintura, cadera) para cada altura.
En función de estas medidas, un 39% de las mujeres se encuadran en el diábolo, el mayoritario, seguido del cilindro (36%) y la campana (25%). Por edades, en los momentos de pubertad y juventud (12-30 años) destaca la forma cilindro, en la madurez (de 31 a 60 años) prima el diábolo y el modelo más extendido a partir de los 60 es la campana. No obstante, el porcentaje de morfotipos en cada franja de edad no es muy acentuado.
Las tallas actuales de ropa tienen los días contados. El patrón clásico de medición dejará paso en unos dos años a un tallaje más ajustado al perfil físico de las mujeres. Esta revolución textil que el Gobierno pretende llevar a Bruselas con rango de normativa busca promover una imagen de belleza más saludable. Para ello, el Ministerio de Sanidad presentó ayer un estudio pionero del que se extraen tres morfotipos o categorías generales entre la población femenina española, y que ayudarán a conformar las nuevas medidas para la ropa.
Estas categorías se forman como resultado de medir los perímetros de busto, cintura y cadera en relación con la estatura. Para ello se han cogido muestras de más de 10.000 mujeres de entre 12 y 70 años, de 59 ciudades españolas. Se tratan de morfotipos que no se habían catalogado hasta ahora, ya que la anatomía siempre ha establecido categorías científicas en función del sexo masculino, como así se regula desde 1972. Este desfase explica como hoy en día un 40% de las mujeres tiene problemas para encontrar su talla, según revela el estudio elaborado por Sanidad.
Con los datos antropométricos en la mano, los técnicos han establecido que el cuerpo femenino responde a tres categorías según su forma anatómica: diábolo, campana y cilindro, que representan «con precisión y de forma proporcional» a las mujeres, según el ministro Bernat Soria. De esta manera, el tamaño de la ropa quedaría ahora definido por códigos con tres dígitos que contemplarían los parámetros citados (pecho, cintura, cadera) para cada altura.
En función de estas medidas, un 39% de las mujeres se encuadran en el diábolo, el mayoritario, seguido del cilindro (36%) y la campana (25%). Por edades, en los momentos de pubertad y juventud (12-30 años) destaca la forma cilindro, en la madurez (de 31 a 60 años) prima el diábolo y el modelo más extendido a partir de los 60 es la campana. No obstante, el porcentaje de morfotipos en cada franja de edad no es muy acentuado.
viernes, 15 de febrero de 2008
El Triángulo de Tartaglia
En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El Triángulo de Tartaglia no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.
| 1 | ||||||||||||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 1 | ||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||||||||||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||||||||
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||||||||||
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||||||||||||
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||||||||||
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |||||||||||
| 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
...
Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y las demás filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.
El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos construir todas las filas que queramos. En el ejemplo de arriba hemos desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a la tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.
| 1 | fila 0 | |||||||||||
| 1 | 1 | fila 1 | ||||||||||
| 1 | 2 | 1 | fila 2 | |||||||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | fila 3 | ||||||||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | fila 4 | |||||||
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | | fila 5... |
El Triángulo de Tartaglia está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.
Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
etc...
Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b, son los mismos números que los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por ejemplo:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
Es fácil también darse cuenta de que a aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va disminuyendo la potencia (en el último ejemplo, a4, a3, a2, etc.), mientras que b no aparece en el primer término, sí en el segundo, y luego va aumentando su potencia hasta acabar solo en el último término.
Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si queremos averiguar un número de la fila 20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores. Cada número en realidad es un número combinatorio; para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego aparecen números con signos de admiración, los factoriales. La fórmula en concreto es:
Veamos un ejemplo de cílculo para entender la fórmula:
Hemos calculado el número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el Triángulo de Tartaglia de arriba del todo veremos que en la fila 8, en el quinto lugar si no contamos el primer 1, tenemos 56.
Cada número del Triángulo es el resultado de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y al lugar que ocupa dentro de ella. El Triángulo se puede expresar también así:
 |
 |
 |
 |
 ... |
Si por ejemplo queremos calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que el factorial de cero es por definición igual a uno, 0! = 1.
De forma análoga se pueden ir calculando todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que van coincidiendo con los términos del Triángulo.
Con todo lo que hemos explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el cálculo del desarrollo de un binomio, llamada el Binomio de Newton:
Para terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el nombre, Niccolás Fontana, apodado Tartaglia porque era tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia, Italia y enseñó en varias universidades hasta establecerse en Florencia en 1542. Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados sobre artillería.
El Triángulo de Tartaglia tiene algunos aspectos interesantes que trataremos en un próximo artículo.
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